在数学中，三次方程是一种形式为 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) 的多项式方程，其中 \( a \neq 0 \)。这类方程的求解往往比二次方程复杂，但通过因式分解的方法可以将其简化为更易处理的形式。本文将介绍一种有效的因式分解方法，并结合具体例子进行详细分析。
方法概述
三次方程的因式分解通常依赖于以下步骤：
1. 寻找一个根：利用有理根定理或试错法找到方程的一个实数根。
2. 多项式除法：使用合成除法或其他方法将原三次方程降阶为一个二次方程。
3. 二次方程求解：对得到的二次方程应用求根公式或继续因式分解。
具体示例
假设我们有一个三次方程：
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \]
第一步：寻找一个根
根据有理根定理，可能的有理根是常数项（-6）的所有因子与最高次项系数（1）的因子的比值。这些可能的根包括 \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)。
通过代入检验，发现当 \( x = 1 \) 时，方程成立：
\[ 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 0 \]
因此，\( x = 1 \) 是该方程的一个根。
第二步：多项式除法
接下来，我们将 \( x - 1 \) 作为因子，对原多项式进行除法运算。采用合成除法：
\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\
& &1 & -5 &6 \\
\hline
& 1 & -5 &6 &0 \\
\end{array}
\]
结果为商 \( x^2 - 5x + 6 \)，余数为零，说明 \( x - 1 \) 是一个完全因子。
第三步：二次方程求解
现在我们需要解决二次方程：
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
利用求根公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，其中 \( a = 1, b = -5, c = 6 \)：
\[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}
\]
\[
x = \frac{5 \pm 1}{2}
\]
这给出两个解：
\[
x = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{和} \quad x = \frac{5 - 1}{2} = 2
\]
最终结果
综上所述，原三次方程 \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \) 的所有根为：
\[
x = 1, \, x = 2, \, x = 3
\]
总结
通过上述步骤，我们可以系统地解决三次方程的因式分解问题。这种方法不仅适用于特定的例子，还可以推广到更多复杂的三次方程中。希望这个详细的分析能帮助你更好地理解和掌握这一技巧。
