在数学领域中，函数的导数是研究函数变化率的重要工具。对于初学者而言，掌握基本初等函数的求导公式尤为重要。今天，我们就来探讨一个常见的三角函数——正切函数（tan x）的导数。

首先，我们需要明确正切函数的定义。正切函数可以表示为sin x与cos x之比，即tan x = sin x / cos x。根据导数的基本法则，两个函数商的导数可以通过以下公式计算：

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

其中u和v分别是分子和分母中的函数。在这里，我们将u设为sin x，v设为cos x。接下来，我们分别求出这两个函数的一阶导数：

u' = d(sin x)/dx = cos x

v' = d(cos x)/dx = -sin x

将这些值代入上述公式，我们可以得到：

(tan x)' = [(cos x)(cos x) - (sin x)(-sin x)] / (cos x)^2

化简后可得：

(tan x)' = (cos²x + sin²x) / cos²x

由于cos²x + sin²x恒等于1，因此最终结果为：

(tan x)' = 1 / cos²x

进一步简化，我们还可以将其写作sec²x的形式，因为1/cos²x等价于sec²x。

综上所述，正切函数tan x的导数为sec²x。这一结论不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也经常被使用，尤其是在物理学、工程学等领域。通过理解和掌握这个知识点，可以帮助我们更好地解决涉及变化率的问题。希望本文能够帮助大家加深对正切函数及其导数的理解。