在数学中，分数形式的函数（即分式）是一种常见的表达方式，其标准形式为 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，其中 \( g(x) \) 和 \( h(x) \) 是关于 \( x \) 的函数，且 \( h(x) \neq 0 \)。当我们需要对这类函数进行求导时，可以借助一个经典的公式——商法则来完成。

商法则公式

如果 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，那么 \( f'(x) \) 的计算公式为：

\[

f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[ h(x) \right]^2}

\]

这个公式的推导基于链式法则和乘法法则，是处理分式函数求导的核心工具。

具体步骤

为了更好地理解如何应用商法则，我们可以通过以下步骤来解决具体问题：

1. 明确分子与分母

确定 \( g(x) \) 和 \( h(x) \)，即找出分式的分子和分母部分。

2. 分别求导

对 \( g(x) \) 和 \( h(x) \) 求导，得到 \( g'(x) \) 和 \( h'(x) \)。

3. 代入公式

将 \( g(x) \)、\( g'(x) \)、\( h(x) \) 和 \( h'(x) \) 代入商法则公式中，化简后即可得到最终结果。

示例分析

假设我们需要对函数 \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} \) 进行求导：

- 分子 \( g(x) = x^2 + 1 \)，分母 \( h(x) = x - 3 \)。

- 分别求导：

\( g'(x) = 2x \)，\( h'(x) = 1 \)。

- 根据商法则：

\[

f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}

\]

进一步化简：

\[

f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}

\]

注意事项

1. 分母不能为零

在使用商法则时，必须确保分母 \( h(x) \neq 0 \)，否则函数无意义。

2. 符号处理需谨慎

在展开过程中要注意正负号的变化，避免因粗心导致错误。

3. 简化结果

化简后的结果应尽量保持简洁，方便后续计算或分析。

总结

掌握分数函数的求导方法，关键在于熟练运用商法则并细心操作。通过上述步骤和实例的练习，你将能够快速准确地解决各种分式函数的求导问题。希望本文能为你提供实用的帮助！