在数学学习中，定积分是一个重要的概念，它不仅用于求解曲线围成的面积，还可以用来解决许多实际问题。今天，我们来一起探讨一道简单的定积分计算题，并详细展示每一步的推导过程。
假设我们需要计算以下定积分：
\[
\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) \, dx
\]
第一步：分解函数
首先，我们将被积函数 \(3x^2 + 2x + 1\) 分解为几个简单的部分，以便逐项计算。这样可以利用定积分的线性性质，即：
\[
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
\]
因此，原积分可以写为：
\[
\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx + \int_{0}^{1} 2x \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx
\]
第二步：逐一计算每一项
（1）计算 \(\int_{0}^{1} 3x^2 \, dx\)
根据幂函数积分公式：
\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]
我们可以得到：
\[
\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3
\]
代入上下限 \(0\) 和 \(1\)：
\[
\int_{0}^{1} 3x^2 \, dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{1} = 1^3 - 0^3 = 1
\]
（2）计算 \(\int_{0}^{1} 2x \, dx\)
同样使用幂函数积分公式：
\[
\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2
\]
代入上下限 \(0\) 和 \(1\)：
\[
\int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1
\]
（3）计算 \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\)
常数函数的积分非常简单：
\[
\int 1 \, dx = x
\]
代入上下限 \(0\) 和 \(1\)：
\[
\int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1
\]
第三步：合并结果
将以上三个部分的结果相加：
\[
\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) \, dx = 1 + 1 + 1 = 3
\]
最终答案
\[
\boxed{3}
\]
希望这个详细的解答能够帮助大家更好地理解定积分的计算方法。如果有任何疑问，欢迎随时提问！
