【向量公式】向量是数学和物理中非常重要的概念，广泛应用于几何、力学、计算机图形学等领域。向量不仅表示大小，还表示方向，因此在实际问题中具有很强的实用性。以下是对常见向量公式的总结，便于快速查阅和理解。
一、基本定义
| 名称 | 定义 | ||||||
| 向量 | 有大小和方向的量，通常用箭头符号或加粗字母表示（如 a） | ||||||
| 向量模 | 向量的长度，记作 | a | 或 | a | |||
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 e = a / | a | |||||
| 零向量 | 所有分量均为0的向量，记作 0 |
二、向量运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ) | 对应分量相加 | ||||
| 向量减法 | a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, ..., aₙ - bₙ) | 对应分量相减 | ||||
| 数乘向量 | ka = (k·a₁, k·a₂, ..., k·aₙ) | 向量与标量相乘 | ||||
| 点积（内积） | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ | 结果为标量，等于 | a | b | cosθ（θ为夹角） | |
| 叉积（外积） | a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) | 仅适用于三维空间，结果为向量 | ||||
| 模长计算 | a | = √(a₁² + a₂² + ... + aₙ²) | 向量的长度 |
三、向量间的关系
| 关系类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 垂直（正交） | a · b = 0 | 两向量夹角为90° | ||||
| 平行 | a = kb（k为常数） | 两向量方向相同或相反 | ||||
| 夹角公式 | cosθ = (a · b) / ( | a | b | ) | 用于计算两个向量之间的夹角 |
四、应用场景简述
- 物理：力、速度、加速度等都是向量，用于分析物体运动。
- 工程：结构分析、流体力学中常用向量进行建模。
- 计算机图形学：3D模型、光照计算、动画设计等都依赖向量运算。
- 机器学习：数据以向量形式存储和处理，便于计算相似度、距离等。
通过以上表格，可以清晰地了解向量的基本定义、运算方式及其应用。掌握这些公式有助于在实际问题中更高效地使用向量进行分析和计算。
