在数学分析中，傅里叶级数是一种将周期函数表示为简单正弦和余弦函数之和的方法。这种方法广泛应用于信号处理、物理以及工程学等领域。那么，傅里叶级数展开公式是如何被推导出来的呢？

首先，我们考虑一个周期为T的函数f(t)。如果这个函数满足狄利克雷条件（即在一个周期内只有有限个间断点且这些间断点处函数值有限），则它可以表示为以下形式的傅里叶级数：

\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \right] \]

其中，系数\(a_n\)和\(b_n\)可以通过如下公式计算得到：

\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt \]

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt \]

为了理解上述公式的推导过程，我们需要回顾一些基本概念。首先，任何周期函数都可以通过一组正交基来表示，这里的正交基就是指那些具有特定频率的正弦和余弦函数。这些函数构成了一个完备的正交系，意味着它们能够唯一地表示任何满足条件的周期函数。

接下来，我们将函数f(t)投影到这组正交基上，以找到每个分量的大小。具体来说，对于每一个n值，我们分别计算f(t)与相应正弦和余弦函数的内积，并将其归一化后得到对应的系数\(a_n\)和\(b_n\)。

通过这种方式，我们可以将复杂的周期函数分解成一系列简单的谐波成分，从而更容易对其进行分析和处理。这就是傅里叶级数展开的核心思想及其背后的数学原理。